2023年考研数学一真题及参考答案解析
一、选择题：1~10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
1. 
的斜渐近线为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B.
【解析】由已知
，则
，
，
所以斜渐近线为.故选B.
2.若
的通解在
上有界，则（ ）.
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】微分方程
的特征方程为
.
若
，则通解为
；
若
，则通解为
；
若
，则通解为
.
由于
在
上有界，若
，则
中
时通解无界，若
，则中
时通解无界，故
.
时，若
，则
，通解为
，在上有界.
时，若
，则
，通解为
，在上无界.
综上可得，
3. 设函数
由参数方程
确定，则( ).
A．
连续，
不存在 B.存在，
在
处不连续
C.连续，
不存在 D.存在，
在处不连续
【答案】C
【解析】
，故在连续
.
时，
；
时，
；
时，
，故
在连续.
,
,
故
不存在.故选C.
4.设
，且
与
收敛，绝对收敛是绝对收敛的（ ）.
A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既非充分又非必要条件
【答案】A.
【解析】由已知条件可知
为收敛的正项级数，进而绝对收敛.
设
绝对收敛，则由
与比较判别法,得 
绝对收玫
设
绝对收敛，则由
与比较判别法，得
绝对收敛.故选A.
5.设
均为
阶矩阵，
，记矩阵
的秩分别为
，则( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由矩阵的初等变换可得
，故
.
，故
.
，故
.
综上，比较可得B正确.
6. 下列矩阵不能相似对角化的是( )
A. 
B.
C.
D.
【答案】D.
【解析】由于A.中矩阵的特征值为
，特征值互不相同，故可相似对角化.
B.中矩阵为实对称矩阵，故可相似对角化.
C.中矩阵的特征值为
，且
，故可相似对角化.
D.中矩阵的特征值为，且
，故不可相似对角化.
选D.
7. 已知向量
，
，
，
，若
既可由
线性表示，也可由
线性表示，则
( )
A．
B.
C.
D.
【答案】D.
【解析】设
，则
，对关于
的方程组的系数矩阵作初等变换化为最简形，
，
解得
，故
.
8.设
服从参数为1的泊松分布，则
（ ）.
A.
B.
C.
D.
【答案】C.
【解析】方法一 由已知可得，
，
，故
，
故选C.
方法二 由于
，于是
，因此
.
由已知可得
，
，故
，
故选C.
9.设
为来自总体
的简单随机样本，
为来自总体
的简单随机样本，且两样本相互独立，记
，
，
，
，则( )
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】D
【解析】由两样本相互独立可得
与
相互独立，且
，
，
因此
，故选D.
10. 已知总体
服从正态分布
，其中
为未知参数，
，
为来自总体的简单随机样本，且
为
的无偏估计，则
( ).
A. 
B.
C. 
D.
【答案】A.
【解析】由与，为来自总体的简单随机样本，，相互独立，且
，
，
因而
，令
，所以
的概率密度为
，
所以
，
又由为的无偏估计可得，
，即
，
解得
，故选A.
二、填空题：11~16小题,每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.
11．当
时，
与
是等价无穷小，则
.
【答案】
【解析】由题意可知，
，
于是
，即
，从而
.
12.曲面
在
处的切平面方程为_ .
【答案】
【解析】由于在点
处的法向量为
，
从而曲面在处的切平面方程为
13.设
是周期为
的周期函数，且
，
则
.
【答案】
【解析】由题意知，
于是
.
14.设连续函数满足
，
，则
.
【答案】
【解析】
15.已知向量
，若
，则
.
【答案】
【解析】
，
；
，
；
，
.
故
.
16. 设随机变量
与
相互独立，且
则
.
答案】
【解析】
.
三、解答题：17~22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）
设曲线
经过点
，该曲线上任意一点
到
轴的距离等于该点处的切线在轴上的截距.
（1）求
;
（2）求函数
在
的最大值.
【解】（1）曲线
在点
处的切线方程为
，于是切线在轴上的截距为
，由题意可知
，即
，此为一阶线性微分方程，根据通解公式可得
，
将
代入上式得
，即
.
(2)由（1）知
，于是
，
.
令
，解得唯一驻点
，
，故
.
18.（本题满分12分）
求函数
的极值
【解】由已知可得
，
，由
解得驻点为
.
又
，
，
.
在
处，
，
，
取
，于是
，从而在的领域内
；
取
，于是
，从而在的领域内
，从而
在点处不去极值；
在
处，
，于是
，故不是极大值点
在
处，
,于是
，是极小值点，极小值
.
19.（本题满分12分）
已知有界闭区域
是由
，
，
所围的，
为边界的外侧，计算曲面积分
.
【解】由高斯公式，有
.
由于
关于
坐标面对称，
是关于
的奇函数，因此
，所以
.
20.（本题满分12分）
设函数
在
上有二阶连续导数.
（1）证明：若
，存在
，使得
；
（2）若在
上存在极值，证明：存在
，使得
.
【证明】(1)将在
处展开为
，
其中
介于
与
之间
分别令
和
，则
，
，
，
，
两式相加可得
，
又函数
在
上有二阶连续导数，由介值定理知存在
，使得
，
即
.
(2)设在
处取得极值，则
.
将在处展开为
，
其中
介于与
之间.
分别令和，则
，
，
，
，
两式相减可得
，
所以
，
即
.
21.（本题满分12分）
设二次型
，
，
(1)求可逆变换
，将
化为
.
(2)是否存在正交矩阵
，使得
时，将化为.
【解】(1) 由配方法得
.
令
，则
，即
时，规范形为 
.
令
，则
时，规范形为.
故可得
时
化为
,可逆变换
,其中
(2)二次型
的矩阵为
.
,
所以
的特征值为
.
二次型
的矩阵为
.
,
所以
的特征值为
.
故
合同但不相似，故不存在可逆矩阵
使得
若存在正交矩阵
，当
时，
，即
，即
相似，矛盾，故不存在正交矩阵，使得时，
化为
.
22.（本题满分12分）
设二维随机变量
的概率密度函数为
(1)求
和
的协方差；
(2)判断和是否相互独立；
(3)求
的概率密度函数.
【解】(1)由题意可得，和的边缘概率密度分别为
因此
,其中
，
，
，
故
.
(2)由(1)可知，
，故
和
不相互独立.
(3)设
的分布函数为
，概率密度为
，则根据分布函数的定义有
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
.
综上，
故
