2025年天津高考数学试题及答案
第I卷（选择题）
参考公式：
·如果事件
互斥，那么
·如果事件
相互独立，那么
·棱柱的体积公式
，其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高．
·圆锥的体积公式
，其中S表示圆锥的底面面积，h表示圆锥的高．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 已知集合
，则
（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
2. 设
，则“
”是“
”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知函数
的图象如下，则
的解析式可能为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
4. 若m为直线，
为两个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若
，则
B. 若
，则
C. 若
，则
D. 若
，则
5. 下列说法中错误的是（ ）
A. 若
，则
B. 若
，
，则
C. 
越接近1，相关性越强
D. 
越接近0，相关性越弱
6. 
，则数列
的前
项和为（ ）
A
112B. 48C. 80D. 64
7. 函数
的零点所在区间是（ ）
A
B. 
C. 
D. 
8. 
，在
上单调递增，且
为它的一条对称轴，
是它的一个对称中心，当
时，
的最小值为（ ）
A. 
B. 
C. 1D. 0
9. 双曲线
左、右焦点分别为
，以右焦点
为焦点的抛物线
与双曲线交于另一象限点为P，若
，则双曲线的离心率
（ ）
A. 2B. 5C. 
D. 
第Ⅱ卷（非选择题）
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
2．本卷共11小题，共105分．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．
10. 已知i是虚数单位，则
________．
11. 在
的展开式中，
项的系数为________．
12. 
，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与
交于C、D两点，
，则
_________．
13. 小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，4圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望
_______
14. 
中，D为AB边中点，
，则
______（用
，
表示），若
，
，则
_______
15. 若
，对
，均有
恒成立，则
的最小值为_______
三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 在
中，角
的对边分别为
．已知
，
，
．
（1）求A的值；
（2）求c的值；
（3）求
的值．
17. 正方体
棱长为4，
分别为
中点，
（1）求证：
平面
；
（2）求平面
与平面
夹角的余弦值；
（3）求三棱锥
的体积．
18. 已知椭圆
的左焦点为F，右顶点为A，P为
上一点，且直线
的斜率为
，
的面积为
，离心率为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分
.
19. 已知数列
是等差数列，
是等比数列，
．
（1）求
，
通项公式；
（2）
，
，有
，
（i）求证：对任意实数
，均有
;
（ii）求
所有元素之和．
20. 已知函数
（1）
时，求
在点
处的切线方程；
（2）
有3个零点，
且
.
（i）求a的取值范围；
（ii）证明
．
参考答案
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】A
【9题答案】
【答案】A
第Ⅱ卷（非选择题）
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
2．本卷共11小题，共105分．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．
【10题答案】
【答案】
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】2
【13题答案】
【答案】 ①. 
②. 
【14题答案】
【答案】 ①. 
； ②. 
【15题答案】
【答案】
三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16.（本题满分14分）
【答案】（1）
（2）c=3
（3）
【分值】14
17.（本题满分15分）
【答案】
（2）
（3）
【分值】15
18.（本题满分15分） 已知椭圆
的左焦点为F，右顶点为
为
上一点，且直线
的斜率为
，
的面积为
，离心率为
。
（1）求椭圆的方程；
（2）过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：
。
【答案】（1）
【分值】15
19.（本题满分15分） 
是等差数列，
是等比数列，
【答案】（1）
（2）
(ii)
【分值】15
20.（本题满分16分）已知函数
.
（1）a=1时，求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
（2）f(x)有
个零点
，且
.
(i)求
的取值范围；
(ii)证明：
【答案】（1）y=x
（2）(i)
【分值】16