2024年天津高考数学真题及答案
第Ⅰ卷（选择题）
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．
参考公式：
·如果事件
互斥，那么
．
·如果事件相互独立，那么
．
·球的体积公式
，其中
表示球的半径．
·圆锥的体积公式
，其中
表示圆锥的底面面积，
表示圆锥的高．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．下列图中，相关性系数最大的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．下列函数是偶函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．若
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．若
为两条不同的直线，
为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若，则
与
相交
7．已知函数
的最小正周期为
．则函数在
的最小值是（ ）
A．
B．
C．0 D．
8．双曲线
的左、右焦点分别为
是双曲线右支上一点，且直线
的斜率为2．
是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．一个五面体
．已知
，且两两之间距离为1．并已知
．则该五面体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
2．本卷共11小题，共105分．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．
10．已知
是虚数单位，复数
4．下列函数是偶函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．若
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．若
为两条不同的直线，
为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若，则
与
相交
7．已知函数
的最小正周期为
．则函数在
的最小值是（ ）
A．
B．
C．0 D．
8．双曲线
的左、右焦点分别为
是双曲线右支上一点，且直线
的斜率为2．
是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．一个五面体
．已知
，且两两之间距离为1．并已知
．则该五面体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
2．本卷共11小题，共105分．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．
10．已知
是虚数单位，复数
(1)求证
平面
；
(2)求平面与平面
的夹角余弦值；
(3)求点
到平面的距离．
18．已知椭圆
椭圆的离心率
．左顶点为
，下顶点为
是线段
的中点，其中
．
(1)求椭圆方程．
(2)过点
的动直线与椭圆有两个交点
．在
轴上是否存在点
使得
恒成立．若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．
19．已知数列
是公比大于0的等比数列．其前
项和为
．若
．
(1)求数列前项和；
(2)设
，
，其中
是大于1的正整数．
（ⅰ）当
时，求证：
；
（ⅱ）求
．
20．设函数
．
(1)求
图象上点
处的切线方程；
(2)若
在
时恒成立，求
的取值范围；
(3)若
，证明
参考答案
1．B
2．C
3．A
4．B
5．B
6．C
7．A
8．C
9．C
10．
11．20
12．
##
13． 
14． 
15．
16．(1)
(2)
(3)
17．(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）取
中点
，连接
，
，
由
是
的中点，故
，且
，
由
是
的中点，故
，且
，
则有
、
，
故四边形
是平行四边形，故
，
又
平面
，
平面，
故
平面；
18．(1)
(2)存在
，使得
恒成立
19．(1)
(2)①证明见详解；②
（2）（i）由（1）可知
，且
，
当
时，则
，即
可知
，
，
可得
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
；
（ii）由（1）可知：
，
若
，则
；
若
，则
，
当
时，
，可知
为等差数列，
可得
，
所以
，
且，符合上式，综上所述：
20．(1)
(2)
(3)证明过程见解析
先证明一个结论：对
，有
.
证明：前面已经证明不等式
，故
，
且
，
所以
，即
.
由
，可知当
时
，当
时
.
所以
在
上递减，在
上递增.
不妨设
，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.
情况一：当
时，有
，结论成立；
情况二：当
时，有
.
对任意的
，设
，则
.
由于
单调递增，且有
，
且当
，
时，由
可知
.
所以在
上存在零点的，再结合单调递增，即知
时
，
时
.
故
在
上递减，在
上递增.
①当
时，有
；
②当
时，由于
，故我们可以取
.
从而当
时，由
，可得
.
再根据
在
上递减，即知对都有
；
综合①②可知对任意
，都有
，即
.
根据
和的任意性，取
，
，就得到
.
所以
.
情况三：当
时，根据情况一和情况二的讨论，可得
，
.
而根据
的单调性，知
或
.
故一定有
成立.
综上，结论成立