2023年天津高考数学试题及答案
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合
，则
（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
2. “
”是“
”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
3. 若
，则
的大小关系为（ ）
A. 
B. 
C
D. 
4. 函数
的图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）
A 
B. 
C. 
D. 
5. 已知函数的一条对称轴为直线
，一个周期为4，则的解析式可能为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
6. 已知
为等比数列，
为数列的前
项和，
，则
的值为（ ）
A. 3 B. 18 C. 54 D. 152
7. 调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数
，下列说法正确的是（ ）
A. 花瓣长度和花萼长度没有相关性
B. 花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C. 花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D. 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是
8. 在三棱锥
中，线段
上的点
满足
，线段
上的点
满足
，则三棱锥
和三棱锥的体积之比为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
9. 双曲线
的左、右焦点分别为
．过
作其中一条渐近线的垂线，垂足为
．已知
，直线
的斜率为
，则双曲线的方程为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．
10. 已知
是虚数单位，化简
的结果为_________．
11. 在
的展开式中，
项的系数为_________．
12. 过原点
一条直线与圆
相切，交曲线
于点
，若
，则
的值为_________．
13. 甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为
．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为
．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________．
14. 在
中，
，
，点
为
的中点，点
为
的中点，若设
，则
可用
表示为_________；若
，则
的最大值为_________．
15. 若函数
有且仅有两个零点，则
的取值范围为_________．
三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 在中，角
所对边分別是
．已知
．
（1）求
的值；
（2）求
的值；
（3）求
．
17. 三棱台
中，若
面
，
分别是
中点.
（1）求证：
//平面
；
（2）求平面与平面
所成夹角
余弦值；
（3）求点
到平面的距离．
18. 设椭圆
的左右顶点分别为
，右焦点为
，已知
．
（1）求椭圆方程及其离心率；
（2）已知点
是椭圆上一动点（不与端点重合），直线
交
轴于点
，若三角形
的面积是三角形
面积的二倍，求直线的方程．
19. 已知
是等差数列，
．
（1）求的通项公式和
．
（2）已知
为等比数列，对于任意
，若
，则
，
（Ⅰ）当
时，求证：
；
（Ⅱ）求
的通项公式及其前
项和．
20. 已知函数
．
（1）求曲线
在
处切线的斜率；
（2）当
时，证明：
；
（3）证明：
．
参考答案
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 【答案】A
2. 【答案】B
3. 【答案】D
4. 【答案】D
5. 【答案】B
6. 【答案】C
7. 【答案】C
8. 【答案】B
9. 【答案】D
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】 ①. 
②. 
14.【答案】 ①. 
②. 
15. 【答案】
三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 在
中，角
所对的边分別是
．已知
．
（1）求
的值；
（2）求
的值；
（3）求
．
【答案】（1）
（2）
（3）
【小问1详解】
由正弦定理可得，
，即
，解得：
；
【小问2详解】
由余弦定理可得，
，即
，
解得：
或
（舍去）．
【小问3详解】
由正弦定理可得，
，即
，解得：
，而
，
所以
都为锐角，因此
，
，
故
．
17. 三棱台
中，若
面
，
分别是
中点.
（1）求证：
//平面
；
（2）求平面与平面
所成夹角的余弦值；
（3）求点
到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
小问1详解】
连接
.由
分别是
的中点，根据中位线性质，
//
，且
，
由棱台性质，
//，于是//，由
可知，四边形
是平行四边形，则
//
，
又
平面
，
平面，于是//平面.
【小问2详解】
过
作
，垂足为
，过作
，垂足为
,连接
.
由
面
，
面，故
，又，
，
平面
，则
平面.
由
平面，故
，又，
，
平面
，于是
平面，
由
平面
，故
.于是平面
与平面
所成角即
.
又
，
，则
，故
，在
中，
，则
，
于是
【小问3详解】
[方法一：几何法]
过
作
，垂足为
，作
，垂足为
，连接
，过作
，垂足为
.
由题干数据可得，
，
，根据勾股定理，
，
由
平面
，
平面，则
，又，
，
平面
，于是
平面.
又
平面，则
，又，
，
平面
，故
平面.
在
中，
，
又
，故点
到平面的距离是到平面的距离的两倍，
即点到平面的距离是
.
[方法二：等体积法]
辅助线同方法一.
设点到平面的距离为
.
，
.
由
，即
.
18. 设椭圆
的左右顶点分别为
，右焦点为
，已知
．
（1）求椭圆方程及其离心率；
（2）已知点
是椭圆上一动点（不与端点重合），直线
交
轴于点
，若三角形
的面积是三角形
面积的二倍，求直线的方程．
【答案】（1）椭圆的方程为
，离心率为
.
（2）
.
【小问1详解】
如图，
由题意得
，解得
，所以
，
所以椭圆的方程为，离心率为
.
【小问2详解】
由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得
，
设直线
的方程为
，
联立方程组
，消去
整理得：
，
由韦达定理得
，所以
，
所以
，
.
所以
,
,
，
所以
，
所以
，即
，
解得
，所以直线的方程为
.
19. 已知
是等差数列，
．
（1）求的通项公式和
．
（2）已知
为等比数列，对于任意
，若
，则
，
（Ⅰ）当
时，求证：
；
（Ⅱ）求的通项公式及其前
项和．
【答案】（1）
，
；
（2）(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)
，前项和为
.
【小问1详解】
由题意可得
，解得
，
则数列
的通项公式为
，
注意到
，从
到
共有
项，
故
.
小问2详解】
(Ⅰ)由题意可知，当
时，
，
取
，则
，即
，
当
时，
，
取
，此时
，
据此可得
，
综上可得：
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：
，
据此猜测
，
否则，若数列的公比
，则
，
注意到
，则
不恒成立，即
不恒成立，
此时无法保证
，
若数列的公比
，则
，
注意到
，则
不恒成立，即
不恒成立，
此时无法保证
，
综上，数列的公比为
，则数列的通项公式为，
其前
项和为：
.
20. 已知函数
（1）求曲线
在
处切线的斜率；
（2）当
时，证明：
；
（3）证明：
．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【小问1详解】
，则
，
所以
，故处的切线斜率为；
【小问2详解】
要证时
，即证
，
令
且，则
，
所以
在
上递增，则
，即.
所以时.
【小问3详解】
设
，
，
则
，
由（2）知：
，则
，
所以
，故
在
上递减，故
；
下证
，
令
且
，则
，
当
时
，
递增，当
时
，递减，
所以
，故在
上
恒成立，
则
，
所以
，
，…，
，
累加得：
，而
，则
，
所以
，故
；
综上，
，即