2024年福建中考数学试题及答案
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．下列实数中，无理数是（ ）
A．
B．0 C．
D．
2．据《人民日报》3月12日电，世界知识产权组织近日公布数据显示，2023年，全球
（《专利合作条约》）国际专利申请总量为27.26万件，中国申请量为69610件，是申请量最大的来源国．数据69610用科学记数法表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图是由长方体和圆柱组成的几何体，其俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．在同一平面内，将直尺、含
角的三角尺和木工角尺（
）按如图方式摆放，若
，则
的大小为（ ）
A． B．
C．
D．
5．下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，已知点是，且
为
的中点，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
8．今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长
，求去年第一季度社会消费品零售总额．若将去年第一季度社会消费品零售总额设为
亿元，则符合题意的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中
与
都是等腰三角形，且它们关于直线
对称，点
，
分别是底边
，
的中点，
．下列推断错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知二次函数
的图象经过
，
两点，则下列判断正确的是（ ）
A．可以找到一个实数
，使得
B．无论实数取什么值，都有
C．可以找到一个实数，使得
D．无论实数取什么值，都有
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．因式分解：x2+x= ．
12．不等式
的解集是 ．
13．学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图，则这12名学生测试成绩的中位数是 ．（单位：分）
14．如图，正方形
的面积为4，点
，
，
，
分别为边
，
，
，
的中点，则四边形
的面积为 ．
15．如图，在平面直角坐标系
中，反比例函数
的图象与
交于
两点，且点都在第一象限．若
，则点
的坐标为 ．
16．无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角
为
，帆与航行方向的夹角
为
，风对帆的作用力为
．根据物理知识，可以分解为两个力
与
，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力仪可以分解为两个力
与
与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；
与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：
，则
．（单位：
）（参考数据：
）
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．计算：
．
18．如图，在菱形
中，点
分别在
边上，
，求证：
．
19．解方程：
．
20．已知A、B两地都只有甲、乙两类普通高中学校．在一次普通高中学业水平考试中，A地甲类学校有考生3000人，数学平均分为90分：乙类学校有考生2000人，数学平均分为80分．
(1)求A地考生的数学平均分；
(2)若B地甲类学校数学平均分为94分，乙类学校数学平均分为82分，据此，能否判断B地考生数学平均分一定比A地考生数学平均分高？若能，请给予证明：若不能，请举例说明．
21．如图，已知二次函数
的图象与
轴交于是，其中
．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若
是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段
交轴于点
的面积是
的面积的2倍，求点的坐标．
22．如图，已知直线
．
(1)在
所在的平面内求作直线
，使得，且与间的距离恰好等于与间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若与间的距离为2，点
分别在
上，且
为等腰直角三角形，求的面积．
23．已知实数
满足
．
(1)求证：
为非负数；
(2)若
均为奇数，
是否可以都为整数？说明你的理由．
24．在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中
），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示
图1 图2 图3
(1)直接写出
的值；
(2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（ ）
图4
A． 
B．
C． 
D．
(3)
卡纸型号 | 型号Ⅰ | 型号Ⅱ | 型号Ⅲ |
规格（单位：cm） |
|
|
|
单价（单位：元） | 3 | 5 | 20 |
现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整
，
的比例，制作棱长为
的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．
（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）
25．如图，在
中，
，以
为直径的
交
于点
，
，垂足为
的延长线交
于点
．
(1)求
的值；
(2)求证：
；
(3)求证：
与
互相平分．
参考答案
1．D
2．C
3．C
4．A
5．B
6．B
7．A
8．A
9．B
10．C
11．
12．
13．90
14．2
15．
16．128
17．4
18．【详解】证明：
四边形
是菱形，
，
，
，
，
．
19．
．
20．(1)86；
(2)不能．
举例如下：如B地甲类学校有考生1000人，乙类学校有考生3000人，则B地考生的数学平均分为
因为
，
所以不能判断B地考生数学平均分一定比
地考生数学平均分高．
21．(1)
(2)
22．(1)见解析；
(2)
的面积为1或
．
【详解】（1）解：如图，
直线
就是所求作的直线．
23．(1)证明见解析；
(2)
不可能都为整数，理由见解析．
【详解】（1）解：因为
，
所以
．
则
．
因为
是实数，所以
，
所以
为非负数．
24．(1)2；
(2)C；
(3)见解析．
【详解】
（3）解：
卡纸型号 | 型号 | 型号 | 型号 |
需卡纸的数量（单位：张） | 1 | 3 | 2 |
所用卡纸总费用（单位：元） | 58 | ||
根据（1）和题意可得：卡纸每格的边长为
，则要制作一个边长为
的正方体的展开图形为：
∴型号
卡纸，每张卡纸可制作10个正方体，如图：
型号
卡纸，每张这样的卡纸可制作2个正方体，如图：
型号
卡纸，每张这样的卡纸可制作1个正方体，如图：
∴可选择型号卡纸2张，型号卡纸3张，型号卡纸1张，则
（个），
∴所用卡纸总费用为：
（元）
25．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】
（2）过点
作
，交
延长线于点
．
．
，
，
．
，
，
，
，
，
．
，
，
，
．
（3）如图，连接
．
是
的直径，
．
，
．
由（2）知，
，
，
，
．
．
，
．
由（2）知，
，
．
，
，
，
四边形
是平行四边形，
与
互相平分