2024年高考全国甲卷数学(文)试题及答案
使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
5．考试结束后，只将答题卡交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 集合
，
，则
（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
2. 设
，则
（ ）
A. 
B. 1 C. -1 D. 2
3. 若实数
满足约束条件
，则
的最小值为（ ）
A. 的 C. 
D. 
4. 等差数列
的前
项和为
，若
，
（ ）
A. B. 
C. 1 D. 
5. 甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
6. 已知双曲线的两个焦点分别为
，点
在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 
7. 曲线
在
处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
8. 函数
在区间
的大致图像为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
9. 已知
，则
（ ）
A. 
B. 
C. D. 
原10题略
10. 设
是两个平面，
是两条直线，且
.下列四个命题：
①若
，则
或
②若
，则
③若的角相等，则
其中所有真命题的编号是（ ）
A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④
11. 在
中内角
所对边分别为
，若
，
，则
（ ）
A. 
B. 
C. 
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
原13题略
12. 函数
在
上的最大值是______
13. 已知
，
，则
______．
14. 曲线
与
在
上有两个不同的交点，则
的取值范围为______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
15. 已知等比数列
的前
项和为
，且
.
（1）求的通项公式；
（2）求数列
的通项公式.
16. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，
，
，
，
为
的中点.
（1）证明：
平面
；
（2）求点到
的距离.
17. 已知函数
．
（1）求
的单调区间；
（2）若
时，证明：当
时，
恒成立．
18. 设椭圆
的右焦点为
，点
在
上，且
轴．
（1）求的方程；
（2）过点
的直线与交于
两点，
为线段
的中点，直线
交直线
于点
，证明：
轴．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分
19. 在平面直角坐标系
中，以坐标原点的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.
（1）写出的直角坐标方程；
（2）设直线l：
（
为参数），若与l相交于
两点，若
，求
的值.
20. 实数
满足
．
（1）证明：
；
（2）证明：
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】B
【9题答案】
【答案】B
原10题略
【10题答案】
【答案】A
【11题答案】
【答案】C
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
原13题略
【12题答案】
【答案】2
【13题答案】
【答案】64
【14题答案】
【答案】
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
【15题答案】
【答案】（1）
（2）
【16题答案】
【答案】
（1）
因为
为
的中点，所以
，
四边形
为平行四边形，所以
，
又因为
平面
，
平面，所以
平面；
（2）
【17题答案】
【答案】
【小问1详解】
定义域为
，
当
时，
，故在上单调递减；
当
时，
时，
，单调递增，
当
时，
，单调递减.
综上所述，当时，在上单调递减；
时，在
上单调递增，在
上单调递减.
【小问2详解】
，且
时，
，
令
，下证
即可.
，再令
，则
，
显然
在
上递增，则
，
即
在上递增，
故
，即
在上单调递增，
故
，问题得证
【18题答案】
【答案】
（1）
（2）故
，即
轴
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．
【19题答案】
【答案】
（1）
（2）
【20题答案】
【答案】
【解析】
【分析】
（1）直接利用
即可证明.
（2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明.
【小问1详解】
因为
，
当
时等号成立，则，
因为
，所以
;
【小问2详解】
