2024年高考全国甲卷数学(理)试题及答案
使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设
，则
（ ）
A. 
B. 
C. 10 D. 
【答案】A
2. 集合
，则
（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】D
3. 若实数
满足约束条件
，则
的最小值为（ ）
A. 5 B. 
C. D. 
【答案】D
4. 等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
（ ）
A. 
B. 
C. 1 D. 2
【答案】B
5. 已知双曲线的两个焦点分别为
，点
在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 
【答案】C
6. 设函数
，则曲线
在
处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】A
7. 函数
在区间
的大致图像为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】B
8. 已知
，则
（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】B
9. 已知向量
，则（ ）
A. “
”是“
”的必要条件 B. “”是“
”的必要条件
C. “
”是“”的充分条件 D. “
”是“”的充分条件
【答案】C
10. 设
是两个平面，
是两条直线，且
.下列四个命题：
①若
，则
或
②若
，则
③若，且，则 ④若
与
和
所成的角相等，则
其中所有真命题的编号是（ ）
A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④
【答案】A
11. 在
中内角
所对边分别为
，若
，
，则
（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】C
12. 已知b是
的等差中项，直线
与圆
交于
两点，则
的最小值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 
【答案】C
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 
的展开式中，各项系数的最大值是______．
【答案】5
14. 已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为
和
，母线长分别为
和
，则两个圆台的体积之比
______．
【答案】
15. 已知
，
，则
______．
【答案】64
16. 有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记
为前两次取出的球上数字的平均值，
为取出的三个球上数字的平均值，则与差的绝对值不超过
的概率是______．
【答案】
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
优级品 | 合格品 | 不合格品 | 总计 | |
甲车间 | 26 | 24 | 0 | 50 |
乙车间 | 70 | 28 | 2 | 100 |
总计 | 96 | 52 | 2 | 150 |
（1）填写如下列联表：
优级品 | 非优级品 | |
甲车间 | ||
乙车间 |
能否有
的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有
的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？
（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率
，设
为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果
，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（
）
附：
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
【答案】
（1）答案见详解
（2）答案见详解
【解析】
【分析】
（1）根据题中数据完善列联表，计算
，并与临界值对比分析；
（2）用频率估计概率可得
，根据题意计算
，结合题意分析判断.
【小问1详解】
根据题意可得列联表：
优级品 | 非优级品 | |
甲车间 | 26 | 24 |
乙车间 | 70 | 30 |
可得
，
因为
，
所以有
的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有
的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异.
【小问2详解】
由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为
，
用频率估计概率可得，
又因为升级改造前该工厂产品的优级品率
，
则
，
可知
，
所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.
18. 记
为数列
的前
项和，且
．
（1）求的通项公式；
（2）设
，求数列
的前项和为
．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用退位法可求的通项公式．
（2）利用错位相减法可求.
【小问1详解】
当
时，
，解得
．
当
时，
，所以
即
，
而
，故
，故
，
∴数列是以4为首项，
为公比的等比数列，
所以
.
【小问2详解】
,
所以
故
所以
，
.
19. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，
，
，
，
为
的中点．
（1）证明：
平面
；
（2）求二面角
的正弦值．
【答案】
（1）证明见详解；
（2）
【解析】
【分析】
（1）结合已知易证四边形
为平行四边形，可证
，进而得证；
（2）作
交于
，连接
，易证
三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公式即可求解.
【小问1详解】
因为
为的中点，所以
，
四边形为平行四边形，所以，又因为
平面，
平面，所以
平面；
【小问2详解】
如图所示，作交于，连接，
因为四边形
为等腰梯形，
，所以
，
结合（1）为平行四边形，可得
，又
，
所以
为等边三角形，
为
中点，所以
，
又因为四边形
为等腰梯形，
为
中点，所以
，
四边形
为平行四边形，
，
所以
为等腰三角形，与底边上中点重合，
，
，
因为
，所以
，所以
互相垂直，
以
方向为
轴，
方向为
轴，
方向为
轴，建立
空间直角坐标系，
，
，
，
，设平面
的法向量为
，
平面
的法向量为
，
则
，即
，令
，得
，即
，
则
，即
，令
，得
，
即
，
，则
，
故二面角
的正弦值为
20. 设椭圆
的右焦点为
，点
在
上，且
轴．
（1）求的方程；
（2）过点
的直线与交于
两点，
为线段
的中点，直线
交直线
于点
，证明：
轴．
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）设
，根据
的坐标及
轴可求基本量，故可求椭圆方程.
（2）设
，
，
，联立直线方程和椭圆方程，用的坐标表示
，结合韦达定理化简前者可得
，故可证轴.
【小问1详解】
设，由题设有
且
，故
，故
，故
，
故椭圆方程为.
【小问2详解】
直线
的斜率必定存在，设，，，
由
可得
，
故
，故
，
又
，
而
，故直线
，故
，
所以
，
故
，即
轴.
21. 已知函数
．
（1）当
时，求
的极值；
（2）当
时，
恒成立，求
的取值范围．
【答案】
（1）极小值为
，无极大值.
（2）
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在平面直角坐标系
中，以坐标原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.
（1）写出的直角坐标方程；
（2）设直线l：
（
为参数），若与l相交于
两点，若
，求
的值.
【答案】
（1）
（2）
23. 实数
满足
．
（1）证明：
；
（2）证明：
．
【答案】
（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）直接利用
即可证明.
（2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明.
【小问1详解】
因为
，
当
时等号成立，则，
因为，所以
;
【小问2详解】
