2022年重庆中考数学试题卷及答案（A卷）
（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1. 试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2. 作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3. 作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成；
4. 考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回.
参考公式：抛物线
的顶点坐标为
，对称轴为
.
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1. 5的相反数是（ ）
A. －5 B. 5 C. 
D. 
2. 下列图形是轴对称图形的是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
3. 如图，直线
，
被直线
所截，
，
，则
的度数为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
4. 如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度
随飞行时间
的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
5. 如图，
与
位似，点
为位似中心，相似比为
.若
的周长为4，则
的周长是（ ）
A. 4 B. 6 C. 9 D. 16
6. 用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ）
A. 32 B. 34 C. 37 D. 41
7. 估计
的值应在（ ）
A. 10和11之间 B. 9和10之间 C. 8和9之间 D. 7和8之间
8. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为
，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
9. 如图，在正方形
中，
平分
交
于点
，点
是边
上一点，连接
，若
，则
的度数为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
10. 如图，
是
的切线，
为切点，连接
交
于点
，延长
交
于点
，连接
.若
，且
，则
的长度是（ ）
A. 3 B. 4 C. 
D. 
11. 若关于
的一元一次不等式组
的解集为
，且关于
的分式方程
的解是负整数，则所有满足条件的整数
的值之和是（ ）
A. －26 B. －24 C. －15 D. －13
12. 在多项式
中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”.例如：
，
，….
下列说法：
①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果.
其中正确的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题（本大题四个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上
13. 计算：
_________.
14. 有三张完全一样正面分别写有字母
，
，
的卡片.将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的字母后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的字母相同的概率是_________.
15. 如图，菱形
中，分别以点
，
为圆心，
，
长为半径画弧，分别交对角线
于点
，
.若
，
，则图中阴影部分的面积为_________.（结果不取近似值）
16. 为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫.初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为
，需香樟数量之比为
，并且甲、乙两山需红枫数量之比为
.在实际购买时，香樟的价格比预算低
，红枫的价格比预算高
，香樟购买数量减少了
，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为_________.
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
17. 计算：（1）
； （2）
.
18. 在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形
中，
是
边上的一点，试说明
的面积与矩形
的面积之间的关系.他的思路是：首先过点
作
的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决.请根据小明的思路完成下面的作图与填空：
证明：用直尺和圆规，过点
作
的垂线
，垂足为
（只保留作图?迹）.
在
和
中，
∵
，
∴
.
又
，
∴__________________①
∵
，
∴__________________②
又__________________③
∴
.
同理可得__________________④
∴
.
四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在对应的位置上.
19. 公司生产
、
两种型号的扫地机器人，为了解它们的扫地质量，工作人员从某月生产的
、
型扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘量的数据（单位：
），并进行整理、描述和分析（除尘量用
表示，共分为三个等级：合格
，良好
，优秀
），下面给出了部分信息：
10台
型扫地机器人的除尘量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98.
10台
型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94
抽取的
、
型扫地机器人除尘量统计表
型号 | 平均数 | 中位数 | 众数 | 方差 | “优秀”等级所占百分比 |
| 90 | 89 |
| 26.6 |
|
| 90 |
| 90 | 30 |
|
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：
_________，
_________，
_________；
（2）这个月公司可生产
型扫地机器人共3000台，估计该月
型扫地机器人“优秀”等级的台数；
（3）根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理由（写出一条理由即可）.
20. 已知一次函数
的图象与反比例函数
的图象相交于点
，
.
（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
（2）根据函数图象，直接写出不等式
的解集；
（3）若点
是点
关于
轴的对称点，连接
，
，求
的面积.
21. 在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从
地沿相同路线骑行去距
地30千米的
地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍.
（1）若乙先骑行2千米，甲才开始从
地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；
（2）若乙先骑行20分钟，甲才开始从
地出发，则甲、乙恰好同时到达
地，求甲骑行的速度.
22. 如图，三角形花园
紧邻湖泊，四边形
是沿湖泊修建的人行步道.经测量，点
在点
的正东方向，
米.点
在点
的正北方向.点
，
在点
的正北方向，
米.点
在点
的北偏东
，点
在点
的北偏东
.
（1）求步道
的长度（精确到个位）；
（2）点
处有直饮水，小红从
出发沿人行步道去取水，可以经过点
到达点
，也可以经过点
到达点
.请计算说明他走哪一条路较近？
（参考数据：
，
）
23. 若一个四位数
的个位数字与十位数字的平方和恰好是
去掉个位与十位数字后得
到的两位数，则这个四位数
为“勾股和数”.
例如：
，∵
，∴2543是“勾股和数”；
又如：
，∵
，
，∴4325不是“勾股和数”.
（1）判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；
（2）一个“勾股和数”
的千位数字为
，百位数字为
，十位数字为
，个位数字为
，记
，
.当
，
均是整数时，求出所有满足条件的
.
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与直线
交于点
，
.
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点
是直线
下方拋物线上的一动点，过点
作
轴的平行线交
于点
，过点
作
轴的平行线交
轴于点
，求
的最大值及此时点
的坐标；
（3）在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点
为点
的对应点，平移后的抛物线与
轴交于点
，
为平移后的抛物线的对称轴上一点.在平移后的抛物线上确定一点
，使得以点
，
，
，
为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点
的坐标，并写出求解点
的坐标的其中一种情况的过程.
25. 如图，在锐角
中，
，点
，
分别是边
，
上一动点，连接
交直线
于点
（1）如图1，若
，且
，
，求
的度数；
（2）如图2，若
，且
，在平面内将线段
绕点
顺时针方向旋转
得到线段
，连接
，点
是
的中点，连接
.在点
，
运动过程中，猜想线段
，
，
之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）若
，且
，将
沿直线
翻折至
所在平面内得到
，点
是
的中点，点
是线段
上一点，将
沿直线
翻折至
所在平面内得到
，连接
.在点
，
运动过程中，当线段
取得最小值，且
时，请直接写出
的值.
数学参考答案（A卷）
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1-5：ADCDB 6-10：CBACC 11-12：DD
12.【解析】我们将括号（称为左括号，）称为右括号，左括号加在最左侧则不改变结果①正确；
②不管如何加括号，
的系数始终为1，
的系数为－1，故②正确；
③我们发现加括号或者不加括号只会影响
、
、
的符号，故最多有
种结果，
，
，
，
，
，
，
，
二、填空题（本大题四个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13. 5 14. 
15. 
16. 
16.【解析】设三座山各需香樟数量分别为4、3、9.甲、乙两山需红枫数量
、
.
∴
，∴
，故丙山需要香樟9，红枫5，设香樟和红枫价格分别为
、
∴
，∴
，
∴实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为
.
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
17.【解析】（1）原式
.
（2）原式
.
18. 
四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在对应的位置上.
19.【解析】（1）95；90；20
（2）
台
（3）
型号更好，在平均数均为90的情况下，
型号的平均除尘量众数
型号的平均除尘量众数90
20.【解析】（1）解：
，
，
解析式为
（2）
或
（3）
21.【解析】解：（1）设乙的速度为
，则甲的速度为
，
由题意可列式
，解得
（2）20分钟
小时
由题意可列式
解得
，检验成立
答：甲骑行的速度为
.
22.【解析】（1）过
作
的垂线，垂足为
，
∴
，
米；
（2）
，∴经过点
到达点
，总路程为500，
∵
，
，
经过点
到达点
，总路程为
，
故经过点
到达点
较近.
23.【解析】（1）
，
，∴1022不是“勾股和数”，
，∴5055是“勾股和数”；
（2）∵
为“勾股和数”，∴
，∴
，
∵
为整数，∴
为整数，∴
，
为整数，∴
为3的倍数，
∴①
，
或
，
，此时
或8190；
②
，
或
，
，此时
或4563.
24.【解析】（1）
；
（2）设
交
于
，∵
，∴
，
设
，∴
，
，
∴
，
∴
时，
取得最大值
，此时
；
（3）新抛物线解析式为
，
，
，设
，
.
①
为对角线，∴
，∴
，
；
②
为对角线，
，
；
③
为对角线，
，
.
25.【解析】（1）如图1，在射线
上取一点
，使得
，
∴
，∴
，
∴
，
∴
，∴
，
∴
，∴
.
（2）
，∴
，∴
，∴
.
方法一：倍长
至
，连接
，∴
，∴
，
延长
至
，使得
，∴
为正三角形，
∴
，∴
，
∵
，∴
，∴
为正三角形，
∴
.
方法二：如图2-2，倍长
得等边
，再证
.
方法三：如图2-3，将
绕
顺时针旋转
得
，∴
，∵
，
∴
垂直平分
，且
，∴
.
（3）由（2）知
，∴
轨迹为红色圆弧，∴
、
、
三点共线时，
取得最小值，
此时
，∴
，
∵
，∴
，
设
，
，
，
，
等面积法得
，
∴
.
